對整數來說

2的倍數,字尾是 2, 4, 6, 8, 0 其中一個,不可能是 1, 3, 5, 7, 9。

5的倍數,字尾是 5 或 0。

3的倍數,把每個數字個別加總,仍是3的倍數。例如48是3的倍數,4+8=12,也是3的倍數。

9的倍數,把每個數字個別加總,仍是9的倍數。例如72是9的倍數,7+2=9,也是9的倍數。

若要檢查6561是不是9的倍數,只要作簡單計算 6+5+6+1 = 18,如此便知6561是9的倍數。

11的倍數如何檢查?

奇數位的總和,與偶數位的總和,二者相減,看是否為11的倍數。例如 14641: (1+6+1) – (4+4) = 0 ,它是11的倍數。

286: (2+6) – 8 = 0,它也是11的倍數。


 7, 13, 17, 19, 23 的倍數,如何快速檢驗?

這不是我發明,在小學六年級時,曾經看到一本書的介紹,感到很有趣。

但學校正式課程沒教,也許是計算過程稍微複雜,學生可能混淆,而未收錄到教材裡。

下列方法,把一個數,拆成兩部分:「個位數」以及「左側部分」

7的倍數:

把個位數乘2,與前面部份相減,仍為7的倍數。 (0也是倍數)

例如

63: 63×2 = 0

112: 112×2 = 7

252: 252×2 = 21,21可再作一次,即是 2 – (1×2) = 0

2401: 2401x2 = 238,再作一次: 238×2 =7


13的倍數:

把個位數乘4,與前面部份相加,仍為13的倍數。

例如

52: 5 + 2×4 = 13

104: 10 + 4×4 = 26

169: 16 + 9×4 = 52

28561: 2856 + 1×4 = 2860

再作一次 286 + 0×4 = 286

再作一次 28 + 6×4 = 52

再作一次 5 + 2×4 = 13


17的倍數:

把個位數乘5,與前面部份相減,仍為17的倍數。

例如

51: 51×5 =0

272: 272×5 = 17

289: 289×5 = -17


19的倍數:

把個位數乘2,與前面部份相加,仍為19的倍數。

例如

361: 36 + 1×2 = 38 再作一次: 3 + 8×2 = 19


7, 13, 17, 19 的倍數,具有上述特徵,是巧合嗎?

或者可以證明?

我在小學六年級時,不知如何證明,國中三年也沒想到證明方法,到了高中一年級,終於想到了!

以7的倍數為例:

(10a + b) 可以被7整除

那麼 (10a + b) – 21b 也可被7整除

(10a + b) – 21b = (10a – 20b) = 10 (a – 2b)

也就是說,把個位數乘以2,與左側數相減,是7的倍數。

其他倍數的證明,與7相似。


13的倍數:

(10a + b) 可以被13整除

那麼 (10a + b) + 39b 也可被13整除

(10a + b) + 39b = (10a + 40b) = 10 (a + 4b)

也就是說,要把個位數乘以4,與左側數相加,是13的倍數。


17的倍數:

(10a + b) 可以被17整除

那麼 (10a + b) – 51b 也可被17整除

(10a + b) – 51b = (10a – 50b) = 10 (a – 5b)

也就是說,要把個位數乘以5,與左側數相減,是17的倍數。


19的倍數:

(10a + b) 可以被19整除

那麼 (10a + b) + 19b 也可被19整除

(10a + b) + 19b = (10a + 20b) = 10 (a + 2b)

也就是說,要把個位數乘以2,與左側數相加,是19的倍數。


7, 13, 17, 19 的倍數,其特徵性質,如何應用

現在舉個例子,在考試中,有個題目是 14 x 123

可能一時緊張,算錯了!

算出答案如果是 1622,在時間有限的情況,要怎麼驗算?

重新計算 14 x 123 是一種驗算方法,

14是7的倍數,乘上一個整數,仍為7的倍數。

使用7的倍數特徵性質,耗費比較少的時間

1622

–> 1622×2 = 158

–> 158×2 = -1

出現 -1 表示 1622 不是 7 的倍數

重新計算 14 x 123 得到 1722,這個數,拿來快速檢查

1722

–> 1722×2 = 168

–> 168×2 = 0


在醫學上,「快速篩檢」可以有效在短時間內對大部分人作初步檢查,但不保證100%正確。

必要時,可作進一步詳細檢查,以確認診斷。

時間有限的情況,很難以少量的人力、材料,對大量民眾作詳細徹底的檢查。

若分為兩階段,大多數人先接受「快速篩檢」,篩檢異常的人,進入第二階段的檢查,這樣可以提升效率,節約醫療資源。


進入醫學領域,我希望儘量維持數學的興趣。

回憶小學、中學時期,在考場曾經應用「篩檢」的方式,查驗乘法運算。這與醫學上的篩檢,有些相似,提出來分享。